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高中数学等差数列知识点总结

时间:2023-06-17 12:59:50 文/阿林 数学北考网www.beiweimall.com

高中等差数列知识点

1.定义:如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数,这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d来表示。同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。

2.数列为等差数列的充要条件是:数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数).等差数列练习题

3.性质1:公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.

4.性质2:公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.

5.性质3:当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.

高考数学等差数列知识点

等差数列公式an=a1+(n-1)d

a1为首项,an为第n项的通项公式,d为公差

前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2

Sn=(a1+an)n/2

若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq

若m+n=2p则:am+an=2ap

以上n.m.p.q均为正整数

解析:第n项的值an=首项+(项数-1)×公差

前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2

公差d=(an-a1)÷(n-1)

项数=(末项-首项)÷公差+1

数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数

数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2

等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列

通项公式:公差×项数+首项-公差

等差数列求和公式

若一个等差数列的首项为a1,末项为an那么该等差数列和表达式为:

S=(a1+an)n÷2

即(首项+末项)×项数÷2

前n项和公式

注意:n是正整数(相当于n个等差中项之和)

等差数列前N项求和,实际就是梯形公式的妙用:

上底为:a1首项,下底为a1+(n-1)d,高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]_ n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

推理过程

设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为 , 则有:

当d≠0时,Sn是n的二次函数,(n,Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意:公式一二三事实上是等价的,在公式一中不必要求公差等于一。

求和推导

证明:由题意得:

Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②

①+②得:

2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)

Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

Sn=n(A1+An)/2 (a1,an,可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值,即(A1+An)

基本公式

公式 Sn=(a1+an)n/2

等差数列知识点

1.等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程:an=dn+a1-d令d=k,a1-d=b则得到an=kn+b

2.等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系:A=(a+b)÷2

3.前n项和

倒序相加法推导前n项和公式:

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差数列性质

一、任意两项am,an的关系为:

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N_

三、若m,n,p,q∈N_,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈N_,有

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列。

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