定积分证明题方法总结

时间：2023-06-14 17:55:01 文/李盛总结北考网www.beiweimall.com

　　定积分证明题方法总结篇1

　　一、不定积分计算方法

　　1. 凑微分法

　　2. 裂项法

　　3. 变量代换法

　　1) 三角代换

　　2) 根幂代换

　　3) 倒代换

　　4. 配方后积分

　　5. 有理化

　　6. 和差化积法

　　7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）

　　8. 降幂法

　　二、定积分的计算方法

　　1. 利用函数奇偶性

　　2. 利用函数周期性

　　3. 参考不定积分计算方法

　　三、定积分与极限

　　1. 积和式极限

　　2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

　　3. 洛必达法则

　　4. 等价无穷小

　　四、定积分的估值及其不等式的应用

　　1. 不计算积分，比较积分值的大小

　　1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

　　f(x)>=g(x),则 >= ()dx

　　2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

　　b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<1

　　2. 估计具体函数定积分的值

　　积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则

　　M(b-a)<= <=M(b-a)

　　3. 具体函数的定积分不等式证法

　　1) 积分估值定理

　　2) 放缩法

　　3) 柯西积分不等式

　　≤ %

　　4. 抽象函数的定积分不等式的证法

　　1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

　　2) 积分中值定理

　　3) 常数变易法

　　4) 利用泰勒公式展开法

　　五、变限积分的导数方法

　　定积分证明题方法总结篇2

　　1、原函数存在定理

　　●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

　　●分部积分法

　　如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

　　2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

　　定积分

　　1、定积分解决的典型问题

　　(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

　　2、函数可积的充分条件

　　●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

　　●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

　　3、定积分的若干重要性质

　　●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

　　●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

　　●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

　　4、关于广义积分

　　设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a

　　定积分的应用

　　1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)

　　●直角坐标系下(含参数与不含参数)

　　●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

　　●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的'方程)

　　●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)

　　●功、水压力、引力

　　●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

　　定积分证明题方法总结篇3

　　一、不定积分的概念和性质

　　若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！

　　性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

　　df(x)dxf(x) dx

　　性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

　　性质3[f(x)g(x)]dx

　　或[f(x)g(x)]dx

　　二、基本积分公式或直接积分法

　　基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

　　kdxkxC

　　xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax

　　edxeCadxlnaC xx

　　cosxdxsinxCsinxdxcosxC

　　dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

　　secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

　　dxarctanxCarccotx

　　C（）1x2arcsinxC（arccosxC）

　　直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。

　　三、换元积分法：

　　1.第一类换元法（凑微分法）

　　g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

　　注 (1)常见凑微分：

　　u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

　　111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

　　c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

　　(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：

　　若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx，若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；

　　(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)；

　　(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；

　　2.第二类换元法

　　f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:

　　(1) 对被积函数直接去根号;

　　(2) 到代换x1; t

　　(3) 三角代换去根号

　　atantxasect、

　　xasint(orxacost)

　　f(xdx，t

　　f(xx，x

　　asect

　　f(xx，xasint

　　f(xx，xatant f(ax)dx，ta

　　f(xx，t

　　三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

　　注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;

　　(2)uvdx要比uvdx容易计算；

　　(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：

　　arcsinx1dx，

　　(4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t；

　　定积分证明题方法总结篇4

　　一、原函数

　　定义1 如果对任一xI，都有F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx

　　则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。

　　例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。 [ln(xx2)

　　原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。

　　注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。

　　设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。

　　注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数）

　　注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。

　　1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。

　　二、不定积分

　　定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。

　　如果F(x)为f(x)的一个原函数，则

　　f(x)dxF(x)C，（C为任意常数）

　　三、不定积分的几何意义

　　图 5—1 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)．

　　在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线．

　　四、不定积分的性质（线性性质）

　　[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

　　k为非零常数） kf(x)dxkf(x)dx（

　　五、基本积分表

　　∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

　　∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C

　　∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

　　∫ e^x dx = e^x + C

　　∫ cosx dx = sinx + C

　　∫ sinx dx = - cosx + C

　　∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

　　∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

　　∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

　　= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

　　∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C

　　= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

　　∫ sec^2(x) dx = tanx + C

　　∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

　　∫ secxtanx dx = secx + C

　　∫ cscxcotx dx = - cscx + C

　　∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

　　∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

　　∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

　　∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

　　∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

　　六、第一换元法（凑微分）

　　设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，则 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx

　　即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或

　　f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有

　　定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则

　　f[(x)](x)dx[f(u)du]

　　公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 u(x)u(x) (2-1)

　　f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

　　1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb