数学全等三角形知识点总结
1. 旋转的定义：
将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F'，图形的这种变换叫旋转。
2. 旋转的性质：
性质1：对应点到旋转中心的距离相等。
性质2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。
性质3：旋转不改变图形的形状和大小。
3. 全等三角形及其性质：
(1)全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。
(2)全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形。
(3)全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF
(4)全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等;
②全等三角形的对应角相等;
③全等三角形周长、面积相等。
4. 三角形全等的判定定理
(1)一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。
(2)直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。
5. 直角三角形：
(1)直角三角形的性质：
①直角三角形中两锐角互余。
②如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
④在直角三角形中，有一个角为90°。
⑤在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°⑥在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
(2)直角三角形的判定：
①有一个角为90°的三角形为直角三角形。
②有两个角互余的三角形为直角三角形。
③如果三角形的三边长a、b、c，有下面关系：
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
6. 作三角形
(1)已知三边作三角形。
(2)已知两边及其夹角作三角形
(3)已知两角及其夹边作三角形
掌握以下8类问题及其解法，并领会其中的数学思想：
1. 能够利用三角形全等的判定及其性质，证明线段或角相等，领会全等形的思想。
2. 能够利用等腰三角形和直角三角形的特殊性质解题，领会一般与特殊的关系。
3. 能够理解旋转，角平分线的概念及其性质，领会对称思想。
4. 能够理解逆命题与逆定理的概念，领会对立统一的思想。
5. 通过几何问题一题多解的研究和推理论证分析综合的训练，渗透转化思想和辨证唯物主义观点。
6. 通过对实际问题的研究体现理论联系实际的思想。
7. 通过用代数方法解决几何问题又体现了数形结合的思想和方程的思想。
8. 能够运用尺规作图，将作图问题转化为基本作图，领会化归思想。
初二数学上册全等三角形测试题(有答案)
一、选择题
1.如图1， AD是 的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且 ，连结BF，CE.下列说法：①CE=BF;②△ABD和△ACD面积相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图2， ， ，下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE C.∠DAE=40° D.∠C=30°
3.已知：如图3，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
4.将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，
为折痕，则 的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.95°
5.根据下列已知条件，能惟一画出△ABC的是( )
A.AB=3，BC=4，CA=8 B.AB=4，BC=3，∠A=30°
C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.∠C=90°，AB=6
6.下列命题中正确的是( )
A.全等三角形的高相等 B.全等三角形的中线相等
C.全等三角形的角平分线相等 D.全等三角形对应角的平分线相等
7.如图5，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于( )
A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.1:4
8. 如图6，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于( )A.1︰1︰1 B.1︰2︰3 C.2︰3︰4 D.3︰4︰5
9.如图7，从下列四个条件：①BC=B′C， ②AC=A′C，③∠A′CB=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图8所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为( )A.80° B.100° C.60° D.45°.
二、填空题
11.如图9，AB，CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB.你补充的条件是______________________________。
12.如图10，AC，BD相交于点O，AC=BD，AB=CD，写出图中两对相等的角______。
13.如图11，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是______。
14.如图12，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则 的面积为______。
15. 在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________。
16. 如图13，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D ，E为两个顶点作位置不同的三角
形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个。
17. 如图14， 分别是锐角三角形 和锐角三角形 中 边上的高，且 .若使 ，请你补充条件__________。(填写一个你认为适当的条件即可)
18. 如图14，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________。
19. 如图15，已知在 中， 平分 ， 于 ，若 ，则 的周长为 。 图16
20.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90 ，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35 ，如图16，则∠EAB是多少度?大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______。
三、用心想一想
21.请你用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ=60°，在它的边OP上截取OA=50mm，OQ上截取OB=70mm，连结AB，画∠AOB的平分线与AB交于点C，并量出AC和OC 的长 .(结果精确到1mm，不要求写画法)。
22.如图17， 中，∠B=∠C，D，E，F分别在 ， ， 上，且 ， 。
求证： .
证明：∵∠DEC=∠B+∠BDE( )，
又∵∠DEF=∠B(已知)，
∴∠______=∠______(等式性质).
在△EBD与△FCE中，
∠______=∠______(已证)，
______=______(已知)，
∠B=∠C(已知)，
∴ ( ).
∴ED=EF( ).
23.如图18，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线?画出图形并说明你的理由。
24.如图19，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角;
(2)设 的度数为x，∠ 的度数为 ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?(用含有x或y的代数式表示)
(3)∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律。
25.如图20，公园有一条“ ”字形道路 ，其中 ∥ ，在 处各有一个小石凳，且 ， 为 的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上?说出你推断的理由。
26.如图21，给出五个等量关系：① ② ③ ④
⑤ .请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确
的结论(只需写出一种情况)，并加以证明。
已知：
求证：
证明：
27.如图22，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.
求证：点C在∠AOB的平分线上。
28. (1)如图23(1)，以 的边 、 为边分别向外作正方形 和正方形
，连结 ，试判断 与 面积之间的关系，并说明理由。
(2)园林小路，曲径通幽，如图23(2)所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 平方米，内圈的所有三角形的面积之和
是 平方米，这条小路一共占地多少平方米?
《全等三角形》测试题答案
一、耐心填一填
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C D D C B A
二、耐心填一填
11.略(答案不惟一) 12.略(答案不惟一) 13.5 14.8 15.1.5cm
16.4 17.略 18. 互补或相等 19.15 20.35
三、用心想一想
21.略. 22.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和，BDE，CEF，BDE，CEF，BD，CE，ASA，全等三角形对应边相等.
23.此时轮船没有偏离航线.画图及说理略.
24.(1)△EAD≌△ ，其中∠EAD=∠ ， ;
(2) ;
(3)规律为：∠1+∠2=2∠A.
25.在一条直线上.连结 并延长交 于 证 .
26.情况一：已知：
求证： (或 或 )
证明：在△ 和△ 中
△ △
即
情况二：已知：
求证： (或 或 )
证明：在△ 和△ 中
，
△ △
27.提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC(SSS)∴∠MOC=∠NOC，∴点C在∠AOB的平分线上.
28. (1)解： 与 面积相等
过点 作 于 ，过点 作 交 延长线于 ，则
四边形 和四边形 都是正方形
(2)解：由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和
这条小路的面积为 平方米.
初二数学全等三角形知识点
定义
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况)
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
(3)有公共边的，公共边一定是对应边;
(4)有公共角的，角一定是对应角;
(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角;
表示：全等用“≌”表示，读作“全等于”。
判定公理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
由3可推到
4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
1.平移，翻折，旋转前后的图形全等.
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
3.全等三角形的判定：
SSS三边对应相等的两个三角形全等[边边边]
SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等[边角边]
ASA两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等[角边角]
AAS两个角和其中一个角的对边开业相等的两个三角形全等[边角边]
HL斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等[斜边，直角边]
4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
5.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
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