轴对称最全知识点汇总
一、知识梳理
1、轴对称
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴.
两个图形中的对应点叫对称点.
2、轴对称图形
把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这个图形关于这条直线(成轴)对称.
3、轴对称与对称轴的区别与联系
区别：
轴对称指的是两个图形的位置关系，而轴对称图形指的是具有对称性的某一个图形.
联系：
如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形.
如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称.
4、一些典型图形的对称轴条数和表述语言
正方形有4条对称轴，分别是对角线所在直线，2条;对边中点连线所在直线，2条.
长方形有2条对称轴，是对边中点连线所在直线，2条.
等腰三角形有1条对称轴，是顶角顶点与对边中点连线所在直线.(或顶角角平分线，底边中线，底边上的高所在直线)
等边三角形有3条对称轴，分别是任意顶点与对边中点连线所在直线，3条.(或任意角角平分线，任意边的中线，任意边上的高所在直线)
等腰梯形有1条对称轴，是上底中点与下底中点连线所在直线.
圆有无数条对称轴，分别是直径所在直线，无数条.
5、垂直平分线(中垂线)定义
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
书写格式：
判定：
∵AO=A′O，∠1=90°，
∴l 是AA′的垂直平分线.
性质：
∵l是AA′的垂直平分线，
∴AO=A′O，∠1=∠2=90° .
6、轴对称性质
成轴对称的两个图形全等，且
(1)对应点的连线被对称轴垂直平分.
(2)对应点的连线互相平行(或在同一条直线上).
(3)对应线段相等，对应角相等.
(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平行).
7、对称轴的作法
法1：作一条对应点的连线，并作其中垂线.
法2：作两条对应点的连线，并分别作其中点，两点确定一条直线.
法3：分别延长两对对应线段，确定两个交点，两点确定一条直线.
8、给出一个图形及对称轴，作其对称图形的作法
过原图形各点画对称轴的垂线，以各点到垂足的距离为半径，截取相等，将所作对应点分别相连.
八年级数学轴对称 知识讲解
轴对称
【学习目标】
1.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形.
2.理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形.
3.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线.
4.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.
【要点梳理】
要点一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
要点二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称(或说这两个图形成轴对称)，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形;反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.
要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
要点四、线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心
初二数学轴对称测试题及答案
1.下列图形不是轴对称图形的是( )
2.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A.5 B.6 C.11 D.16
3.已知am=5，an=6，则am+n的值为( )
A.11 B.30 C. D.
4.下列计算错误的是( )
A.(﹣2x)3=﹣2x3 B.﹣a2?a=﹣a3 C.(﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9 D.(﹣2a3)2=4a6
5.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )
6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )
A.8x2﹣8y2 B.8y2﹣8x2 C.8(x+y)2 D.8(x﹣y)2
7.如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为( )厘米.
A.16 B.18 C.26 D.28
8.计算(﹣2x+1)(﹣3x2)的结果为( )
A.6x3+1 B.6x3﹣3 C.6x3﹣3x2 D.6x3+3x2
9.分解因式：x2﹣4y2的结果是( )
A.(x+4y)(x﹣4y) B.(x+2y)(x﹣2y) C.(x﹣4y)2 D.(x﹣2y)2
10.如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F.下列结论①△ADC≌△ADE;②CE平分∠DEF;③AD垂直平分CE.其中正确的是( )
A①②③ B、① C、② D、③
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11.计算：20130﹣2﹣1=__________
12.化简(1- )(m+1)的结果是 .
13.如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是 .
14.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是 度.
15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，
则∠E= 度.
16.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是 .
三、解答题(共8题，共72分)
17.(本题8分)计算：
(1)(3a﹣2b)(9a+6b); (2)(﹣2m﹣1)2;
18.(本题8分)分解因式：4m2﹣9n2
19.(本题8分)解分式方程 =
20.(本题8分)已知：如图，AB=CD，AB∥CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，AF=5，求CE的长.
21.(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.
实验与探究：
(1)由图观察易知A(0，2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)、C(﹣2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ;
归纳与发现：
(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 ;
运用与拓广：
22.(本题8分)2015年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.
(1)求高铁列车的平均时速;
(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?
23.(本题10分)如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D.
求证：(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是线段CD的垂直平分线.
24.(本题12分)如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).
(1)用的代数式表示PC的长度;
(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由;
(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?
参考答案
一、选择题
1. B. 2. C. 3. B. 4. A. 5. A. 6. B. 7. B. 8. C. 9. B. 10. A
二、填空题
11. 12. m. 13. 2+n. 14. 60 15. 15 16.十一.
三、解答题
17.解：(1)原式=3(3a﹣2b)(3a+2b)=3(9a2﹣4b2)=27a2﹣12b2;
(2)原式=4m2+4m+1;
18.解：4m2﹣9n2=(2m+3n)(2m﹣3n).
19.解：去分母得：3x=2x+2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解.
故答案为：x=2.
20.解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，
∵AB∥CD，
在△DEC和△BFA中，
∠DEC=∠AFB，∠ C=∠A，DC=BA，
∴△DEC≌△BFA，
∴CE=AF，
∴CE=5.
21.解：(1)如图：B′(3，5)，C′(5，﹣2);
(2)(b，a);
22.解：(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，
由题意得， ，
解得：x=72，经检验，x=72是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x=180，
答：高铁列车的平均时速为180千米/小时;
(2)630÷180=3.5，则坐车共需要3.5+1.5=5(小时)，
王老师到达会议地点的时间为1点40.
故他能在开会之前到达.
23.解：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC;
(2)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴△OED≌△OEC(AAS)，∴OC=OD;
(3)在△DOE和△COE中，OC=OD，∠EUC=∠BOE，OE=OE，
∴△DOE≌△COE，∴DE=CE，
∴OE是线段CD的垂直平分线.
24.解：(1)BP=2t，则PC=BC﹣BP=6﹣2t;
(2)△BPD和△CQP全等
理由：∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘米，∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米，
∵AB=8厘米，点D为AB的中点，∴BD=4厘米，∴PC=BD，
在△BPD和△CQP中，BD=PC，∠B=∠C，BP=CQ，
∴△BPD≌△CQP(SAS);
(3)∵点P、Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，点Q运动的时间t= = 秒， ∴VQ= = 厘米/秒.
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