最新高一数学教案集合的运算模板

时间：2023-06-06 05:08:46 文/秦风学数学北考网www.beiweimall.com

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教学目标

1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

(1)理解公式的推导过程，体会转化的思想;

(2)用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二;

2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.

教学建议

教材分析

(1)知识结构

先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和.

(2)重点、难点分析

教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等)，这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况.

教学建议

(1)本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.

(2)等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.

(3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.

(4)编拟例题时要全面，不要忽略的情况.

(5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.

(6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.

教学设计示例

课题：等比数列前项和的公式

教学目标

(1)通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.

(2)通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.

(3)通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.

教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.

教学用具

幻灯片，课件，电脑.

教学方法

引导发现法.

教学过程

一、新课引入：

(问题见教材第129页)提出问题：(幻灯片)

二、新课讲解：

记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

(板书)即，①

，②

②-①得即.

由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简?

(板书)等比数列前项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即

(板书)③两端同乘以，得

④，

③-④得⑤，(提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值)

当时，由③可得(不必导出④，但当时设想不到)

当时，由⑤得.

于是

反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.

(板书)例题：求和：.

设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.

解：，

两端同乘以，得

，

两式相减得

于是.

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.

公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.

三、小结：

1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用;

2.用错位相减法求一些数列的前项和.

四、作业：略

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教学准备

教学目标

熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学重难点

熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学过程

【复习要求】熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。-

【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差(或公比)等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

一、基础训练

1.某种细菌在培养过程中，每20分钟-一次(一个-为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()

A、511B、512C、1023D、1024

2.若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为()

A、B、

C、D、

二、典型例题

例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap……，第n期(即最后一期)的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少?

评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期(存期+1)利率]

例2：某人从1999到2002年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2003年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元?

例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从2000年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%.(lg2=0.3)

例4、.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多?并求这一天的新患者人数.

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一、目的要求

结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念。

二、内容分析

1.这小节继续研究集合的运算，即集合的交、并及其性质。

2.本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系。

三、教学过程

复习提问：

1.说出A的意义。

2.填空：如果全集U={x|0≤x<6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么，

A=_________，B=__________。

(A={0，2，4}，B={0，2，3，5})

新课讲解：

1.观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系?

2.定义：

(1)交集：A∩B={x∈A,且x∈B}。

(2)并集：A∪B={x∈A,且x∈B}。

3.讲解教科书1.3节例1-例5。

组织讨论：

观察下面表示两个集合A与B之间关系的5个图，根据这些图分别讨论A∩B与A∪B。

(2)中A∩B=φ。

(3)中A∩B=B，A∪B=A。

(4)中A∩B=A，A∪B=B。

(5)中A∩B=A∪B=A=B。

课堂练习：

教科书1.3节第一个练习第1～5题。

拓广引申：

在教科书的例3中，由A={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，得

A∪B={3，5，6，8}∪{4，5，7，8}

={3，4，5，6，7，8}

我们研究一下上面三个集合中的元素的个数问题。我们把有限集合A的元素个数记作card(A)=4，card(B)=4，card(A∪B)=6.

显然，

card(A∪B)≠card(A)+card(B)

这是因为集合中的元素是没有重复现象的，在两个集合的公共元素只能出现一次。那么，怎样求card(A∪B)呢?不难看出，要扣除两个集合的公共元素的个数，即card(A∩B)。在上例中，card(A∩B)=2。

一般地，对任意两个有限集合A，B，有

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)。

四、布置作业

1.教科书习题1.3第1～5题。

2.选作：设集合A={x|-4≤x<2},B={-1

求A∩B∩C，A∪B∩C。

(A∩B∩C={-1

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(一)教学目标

1.知识与技能

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.

(2)能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。

(3)掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。

2.过程与方法

通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力.

3.情感、态度与价值观

通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值.

(二)教学重点与难点

重点：交集、并集运算的含义，识记与运用.

难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系

(三)教学方法

在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合.

(四)教学过程

教学环节教学内容师生互动设计意图

提出问题引入新知思考：观察下列各组集合，联想实数加法运算，探究集合能否进行类似“加法”运算.

(1)A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}

(2)A={x|x是有理数}，

B={x|x是无理数}，

C={x|x是实数}.

师：两数存在大小关系，两集合存在包含、相等关系;实数能进行加减运算，探究集合是否有相应运算.

生：集合A与B的元素合并构成C.

师：由集合A、B元素组合为C，这种形式的组合就是为集合的并集运算.生疑析疑，

导入新知

形成

概念

思考：并集运算.

集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的，称C为A和B的并集.

定义：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合.称为集合A与B的并集;记作：A∪B;读作A并B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：

师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来.

学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义.在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义.

应用举例例1设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.

例2设集合A={x|–1

例1解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.

例2解：A∪B={x|–1

师：求并集时，两集合的相同元素如何在并集中表示.

生：遵循集合元素的互异性.

师：涉及不等式型集合问题.

注意利用数轴，运用数形结合思想求解.

生：在数轴上画出两集合，然后合并所有区间.同时注意集合元素的互异性.学生尝试求解，老师适时适当指导，评析.

固化概念

提升能力

探究性质①A∪A=A，②A∪=A，

③A∪B=B∪A，

④∪B，∪B.

老师要求学生对性质进行合理解释.培养学生数学思维能力.

形成概念自学提要：

①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算?

②交集运算具有的运算性质呢?

交集的定义.

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集;记作A∩B，读作A交B.

即A∩B={x|x∈A且x∈B}

Venn图表示

老师给出自学提要，学生在老师的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义.并总结交集的性质.

生：①A∩A=A;

②A∩=;

③A∩B=B∩A;

④A∩，A∩.

师：适当阐述上述性质.

自学辅导，合作交流，探究交集运算.培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.

应用举例例1(1)A={2，4，6，8，10}，

B={3，5，8，12}，C={8}.

(2)新华中学开运动会，设

A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，

B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.

例2设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.学生上台板演，老师点评、总结.

例1解：(1)∵A∩B={8}，

∴A∩B=C.

(2)A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

例2解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.

(1)直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P};

(2)直线l1，l2平行可表示为

L1∩L2=;

(3)直线l1，l2重合可表示为

L1∩L2=L1=L2.提升学生的动手实践能力.

归纳总结并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

性质：①A∩A=A，A∪A=A，

②A∩=，A∪=A，

③A∩B=B∩A，A∪B=B∪A.学生合作交流：回顾→反思→总理→小结

老师点评、阐述归纳知识、构建知识网络

课后作业1.1第三课时习案学生独立完成巩固知识，提升能力，反思升华

备选例题

例1已知集合A={–1，a2+1，a2–3}，B={–4，a–1，a+1}，且A∩B={–2}，求a的值.

【解析】法一：∵A∩B={–2}，∴–2∈B，

∴a–1=–2或a+1=–2，

解得a=–1或a=–3，

当a=–1时，A={–1，2，–2}，B={–4，–2，0}，A∩B={–2}.

当a=–3时，A={–1，10，6}，A不合要求，a=–3舍去

∴a=–1.

法二：∵A∩B={–2}，∴–2∈A，

又∵a2+1≥1，∴a2–3=–2，

解得a=±1，

当a=1时，A={–1，2，–2}，B={–4，0，2}，A∩B≠{–2}.

当a=–1时，A={–1，2，–2}，B={–4，–2，0}，A∩B={–2}，∴a=–1.

例2集合A={x|–1

(1)若A∩B=，求a的取值范围;

(2)若A∪B={x|x<1}，求a的取值范围.

【解析】(1)如下图所示：A={x|–1

∴数轴上点x=a在x=–1左侧.

∴a≤–1.

(2)如右图所示：A={x|–1

∴数轴上点x=a在x=–1和x=1之间.

∴–1

例3已知集合A={x|x2–ax+a2–19=0}，B={x|x2–5x+6=0}，C={x|x2+2x–8=0}，求a取何实数时，A∩B与A∩C=同时成立?

【解析】B={x|x2–5x+6=0}={2，3}，C={x|x2+2x–8=0}={2，–4}.

由A∩B和A∩C=同时成立可知，3是方程x2–ax+a2–19=0的解.将3代入方程得a2–3a–10=0，解得a=5或a=–2.

当a=5时，A={x|x2–5x+6=0}={2，3}，此时A∩C={2}，与题设A∩C=相矛盾，故不适合.

当a=–2时，A={x|x2+2x–15=0}={3，5}，此时A∩B与A∩C=，同时成立，∴满足条件的实数a=–2.

例4设集合A={x2，2x–1，–4}，B={x–5，1–x，9}，若A∩B={9}，求A∪B.

【解析】由9∈A，可得x2=9或2x–1=9，解得x=±3或x=5.

当x=3时，A={9，5，–4}，B={–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去.

当x=–3时，A={9，–7，–4}，B={–8，4，9}，A∩B={9}满足题意，故A∪B={–7，–4，–8，4，9}.

当x=5时，A={25，9，–4}，B={0，–4，9}，此时A∩B={–4，9}与A∩B={9}矛盾，故舍去.

综上所述，x=–3且A∪B={–8，–4，4，–7，9}.

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一、目的要求

1.通过本章的引言，使学生初步了解本章所研究的问题是集合与简易逻辑的有关知识，并认识到用数学解决实际问题离不开集合与逻辑的知识。

2.在小学与初中的基础上，结合实例，初步理解集合的概念，并知道常用数集及其记法。

3.从集合及其元素的概念出发，初步了解属于关系的意义。

二、内容分析

1.集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。

把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。

2.1.1节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

3.这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。

4.在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。

三、教学过程

提出问题：

教科书引言所给的问题。

组织讨论：

为什么“回答有20名同学参赛”不一定对，怎么解决这个问题。

归纳总结：

1.可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题.

2.怎么解决这个问题呢?以前我们解一个问题，通常是先用代数式表示问题中的数量关系，再进一步求解，也就是先用数学语言描述它，把它数学化。这个问题与我们过去学过的问题不同，是属于与集合有关的问题，因此需要先用集合的语言描述它，完全解决问题，还需要更多的集合与逻辑的知识，这就是本章将要学习的内容了。