高二数学必修二教案最新模板1
教学目标
1. 能够运用函数的性质,指数函数,对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
(1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本,弄清题中出现的量及其数学含义.
(2) 能根据实际问题的具体背景,进行数学化设计,将实际问题转化为数学问题,并调动函数的相关性质解决问题.
(3) 能处理有关几何问题,增长率的问题,和物理方面的实际问题.
2. 通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题,培养学生分析问题,解决问题的能力和运用数学的意识,也体现了函数知识的应用价值,也渗透了练习的价值.
3. 通过对实际问题的研究解决,渗透了数学建模的思想.提高了学生学习数学的爱好,使学生对函数思想等有了进一步的了解.
教学建议
教材分析
(1)本小节内容是全章知识的综合应用.这一节的出现体现了强化应用意识的要求,让学生能把数学知识应用到生产,生活的实际中去,形成应用数学的意识.所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点,根据实际问题建立数学模型是本小节的难点.
(2)在解决实际问题过程中常用到函数的知识有:函数的概念,函数解析式的确定,指数函数的概念及其性质,对数概念及其性质,和二次函数的概念和性质.在方法上涉及到换元法,配方法,方程的思想,数形结合等重要的思方法..事业本节的学习,既是对知识的复习,也是对方法和思想的再熟悉.
教法建议
(1)本节中处理的均为应用问题,在题目的叙述表达上均较长,其中要分析把握的信息量较多.事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫,找出关键语言,关键数据,非凡是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要.
(2)对于应用问题的处理,第二步应根据各个量的关系,进行数学化设计建立目标函数,将实际问题通过分析概括,抽象为数学问题,最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决.此类题目一般都是分为这样三步进行.
(3)在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题,利润,费用最省问题,增长率的问题及物理方面的问题.在选题时应以以上几方面问题为主.
教学设计示例
函数初步应用
教学目标
1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题.
2.通过对实际问题的 研究,培养学生分析问题,解决问题的能力
3.通过把实际问题向数学问题的转化,渗透数学建模的思想,提高学生用数学的意识,及学习数学的爱好.
教学重点,难点
重点是应用问题的阅读分析和解决.
难点是根据实际问题建立相应的数学模型
教学方法
师生互动式
教学用具
投影仪
教学过程 一. 提出问题
数学来自生活,又应用于生活和生产实践.而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识,数学思想与方法.如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用.今天我们就一起来探讨几个应用问题.
问题一:如图,△ 是边长为2的正三角形,这个三角形在直线 的左方被截得图形的面积为 ,求函数 的解析式及定义域. (板书)
(作为应用问题由于学生是初次研究,所以可先选择以数学知识为背景的应用题,让学生研究)
首先由学生自己阅读题目,教师可利用计算机让直线运动起来,观察三角形的变化,由学生提出研究方法.由学生说出由于图形的不同计算方法也不同,应分类讨论.分界点应在 ,再由另一个学生说出面积的 计算方法.
当 时, ,(采用直接计算的方法)
当 时,
.(板书)
(计算第二段时,可以再画一个相应的图形,如图)
综上,有 ,
此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算 ?让学生明确是分段函数的前提条件下,求出定义域为 .(板书)
问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解;(2)建立目标函数;(3)按要求解决数学问题.
下面我们一起看第二个问题
问题二:某工厂制定了从1999年底开始到_年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划,预计生产总值年平均增长率为 ,则第二个三年计划生产总值 与第一个三年计划生产总值 相比,增长率 为多少?(投影仪打出)
首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题,所以问题转化为已知年增长率为 ,分别求两个三年计划的总产值.
设1999年总产值为 ,第一步让学生依次说出_年到_年的年总产值,它们分别为:
_年 _年
_年 _年
_年 _年 (板书)
第二步再让学生分别算出第一个三年总产值 和第二个三年总产值
=
= .
=
= .(板书)
第三步计算增长率 .
.(板书)
计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注重的问题.最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为 ,其中 为基数, 为增长率, 为时间.所以经常会用到指数函数有关知识加以解决.
总结后再提出最后一个问题
问题三:一商场批发某种商品的进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促进销售,拟采用买一个这种商品赠予一个小礼品的办法,试验表明,礼品价格为1元时,销售量可增加10%,且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%.设未赠予礼品时的销售量为 件.
(1)写出礼品价值为 元时,所获利润 (元)关于 的函数关系式;
(2)请你设计礼品价值,以使商场获得利润. (为节省时间,应用题都可以用投影仪打出)题目出来后要求学生认真读题,找出关键量.再引导学生找出与利润相关的量.包括销售量,每件的利润及礼品价值等.让学生思考后,列出销售量的式子.再找学生说出每件商品的利润的表达式,完成第一问的列式计算.
解: .(板书)
完成第一问后让学生观察解析式的特点,提出如何求这个函数的值(此出最值问题是学生比较生疏的,方法也是学生不熟悉的)所以学生碰到思维障碍,教师可适当提示,如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律,若看不出规律,能否把具体计算改进一下,再计算中能体现它是?也就是让学生意识到应用值的概念来解决问题.最终将问题概括为两个不等式的求解即
(2)若使利润应满足
同时成立即 解得
当 或 时, 有值.
由于这是实际应用问题,在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠予,可获的利润.
三.小结
通过以上三个应用问题的研究,要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注重事项.
四.作业 略
五.板书设计
2.9 函数初步应用
问题一:
解:
问题二
分析
问题三
分析
小结:
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教学目标
1.理解等差数列的概念,把握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判定一个数列是等差数列,了解等差中项的概念;
(2)正确熟悉使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像熟悉等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透非凡与一般的辩证唯物主义观点.
关于等差数列的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的熟悉与应用,等差数列是非凡的数列,定义恰恰是其非凡性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确熟悉等差数列,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外, 出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为等差数列的定义与表示法,一节为等差数列通项公式的应用.
②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做等差数列”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作预备.假如学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③等差数列的定义归纳出来后,由学生举一些等差数列的例子,以此让学生思考确定一个等差数列的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项 可看作项数 的一次型( )函数,这与其图像的外形相对应.
⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的,数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式,有穷等差数列的项数未必是 ,即其末项未必是该数列的第 项,在教学中一定要强调这一点.
⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究等差数列的子数列,有规律的子数列会引起学生的爱好. ⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
等差数列通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对等差数列通项公式的熟悉,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的爱好.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的熟悉;教学难点是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法,请同学们回忆等差数列的定义,其表示法都有哪些?
等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系,当等差数列的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知 求 ).找学生试举一例如:“已知等差数列 中,首项 ,公差 ,求 .”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
(1)已知等差数列 中,首项 ,公差 ,则-397是该数列的第______项.
(2)已知等差数列 中,首项 , 则公差
(3)已知等差数列 中,公差 , 则首项
这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量 , 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
(1)已知等差数列 中, ,求 的值.
(2)已知等差数列 中, , 求 .
若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组,所以这些等差数列是确定的,由 和 写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于 和 的二元方程组,以求得 和 , 和 称作基本量.
教师提出新的问题,已知等差数列的一个条件(等式),能否确定一个等差数列?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于 和 的二元方程,这是一个 和 的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).
如:已知等差数列 中, …
由条件可得 即 ,可知 ,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题 (3)已知等差数列 中, 求 ; ; ; ;….
类似的还有
(4)已知等差数列 中, 求 的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判定?引出
3.研究等差数列的单调性
,考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数,其单调性取决于 的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究等差数列前 项和的最值所做的预备工作.可配备的题目如
(1)已知数列 的通项公式为 ,问数列从第几项开始小于0?
(2)等差数列 从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1. 用方程思想熟悉等差数列通项公式;
2. 用函数思想解决等差数列问题.
四.板书设计
等差数列通项公式1. 方程思想的运用
2. 基本量方法的使用
3. 研究等差数列的单调性
4. 研究项的符号
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一、学习目标
1)理解对数的概念;
2)能熟练地进行对数式与指数式的转化 .
二、教学重点和教学难点
重点：对数的概念
难点：对对数概念的理解
三、知识链接
1.指数函数： ( ), , 0
2.运算性质：
四.学习过程：
阅读课本 ，解答下面问题：
1、对数的定义：一般地，如果 ( )的b次幂等于N,即 ,那么
数 叫做以 为底 的对数,记作: .
其中 叫做对数的 , 叫做 .
2、把下列指数式写成对数式
①、 ②、 ③、
3、把下列对数式写成指数式
①、 ; ② ; ③ ;
阅读课本 ，解答下面问题：
4、特殊对数
通常以 为底的对数叫常用对数，并把 简记作
在科学技术中常使用以无理数 为底的对数，以 为底的对数称为自然对数，并把 简记作 .
如： ; .
5、根据对数式与指数式的关系，填写下表中空白处的名称.
式子 名称
指数式
对数式
6、思考交流
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教学目标：
使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.
教学重点：
函数的概念，函数定义域的求法.
教学难点：
函数概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?
(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).
设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：
问题一：y=1(x∈R)是函数吗?
问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?
(学生思考，很难回答)
[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.
在(1)中，对应关系是“乘2”，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.
在(2)中，对应关系是“求平方”，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.
在(3)中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.
请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?
[生]一对一、二对一、一对一.
[师]这3个对应的共同特点是什么呢?
[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.
[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.
现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，x∈A
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A}叫函数的值域.
一次函数f(x)=ax+b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a≠0)和它对应.
反比例函数f(x)=kx (k≠0)的定义域是A={x|x≠0}，值域是B={f(x)|f(x)≠0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k≠0)和它对应.
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R，值域是当a>0时B={f(x)|f(x)≥4ac-b24a };当a<0时，B={f(x)|f(x)≤4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)对应.
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.
y=1(x∈R)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.
Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x≠0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.
[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f:A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示
Ⅲ.例题分析
[例1]求下列函数的定义域.
(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.
解：(1)x-2≠0，即x≠2时，1x-2 有意义
∴这个函数的定义域是{x|x≠2}
(2)3x+2≥0，即x≥-23 时3x+2 有意义
∴函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+∞)
(3) x+1≥02-x≠0 x≥-1x≠2
∴这个函数的定义域是{x|x≥-1}∩{x|x≠2}=[-1，2)∪(2，+∞).
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.
从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x>0而不是全体实数.
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.
[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+3?2+1=11
注意：f(a)是常量，f(x)是变量 ，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.
下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?
[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.
[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢!
[生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.
[师]生乙的回答完整吗?
[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).
[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?
[生]函数的定义.
[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?
(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)
(无人回答)
[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!
(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)
[例2]求下列函数的值域
(1)y=1-2x (x∈R) (2)y=|x|-1 x∈{-2，-1，0，1，2}
(3)y=x2+4x+3 (-3≤x≤1)
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.
对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.
解：(1)y∈R
(2)y∈{1，0，-1}
(3)画出y=x2+4x+3(-3≤x≤1)的图象，如图所示，
当x∈[-3，1]时，得y∈[-1，8]
Ⅳ.课堂练习
课本P24练习1—7.
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳)
Ⅵ.课后作业
课本P28，习题1、2.
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教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方
面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所
反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课 型：新授课
教学目标：(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体
问题，感受集合语言的意义和作用;
教学重点：集合的基本概念与表示方法;
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合; 教学过程：
一、 引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
二、 新课教学
(一)集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这
些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简
称集。
3. 关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)集合相等：构成两个集合的元素完全一样
4. 元素与集合的关系;
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a?A(或a A)
5. 常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N_或N+;
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
(二)集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?;
思考2，引入描述法
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
(2) 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，?;
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
三、 归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。课题:§1.2集合间的基本关系
教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课 型：新授课
教学目的：(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;
(2)理解子集、真子集的概念;
(3)能利用Venn图表达集合间的关系;
(4)了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念;用Venn图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别;
教学过程：
四、 引入课题
1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：(1)0 N;(2
;(3)-1.5 R
2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣
布课题)
五、 新课教学
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A;
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。
记作：A?B(或B?A)
读作：A包含于(is contained in)B，或B包含(contains)A (一) 集合与集合之间的“包含”关系;
当集合A不包含于集合B时，记作
B
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 A?B(或B?A)
(二) 集合与集合之间的 “相等”关系;
A?B且B?A，则A?B中的元素是一样的，因此A?B
?A?B即 A?B?? B?A?
结论：
任何一个集合是它本身的子集
(三) 真子集的概念
若集合A?B，存在元素x?B且x?A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset)。
记作：A B(或B A)
读作：A真包含于B(或B真包含A)
(四) 空集的概念
(实例引入空集概念)
不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：? 规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
(五) 结论：1A?A ○2A?B，且B?C，则A?C ○
(六) 例题
(1)写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
(2)化简集合A={x|x-3>2},B={x|x?5}，并表示A、B的关系;
(七) 归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法;
1 已知集合A?{x|a?x?5}，B?{x|x≥2}，且满足A?B，求实数a的○
取值范围。
2 设集合A?{○四边形}，B?{平行四边形}，C?{矩形}，
D?{正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系。
课题：§1.3集合的基本运算
教学目的：(1)理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;(3)能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念;
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”;
教学过程：
六、 引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢?
思考(P9思考题)，引入并集概念。
七、 新课教学
1. 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(Union)
记作：A∪B
Venn图表示： 读作：“A并B” 即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素)。
问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
2. 交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集(intersection)。
记作：A∩B
读作：“A交B” 即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集
集
3. 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(Universe)，通常记作U。
A
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集，
记作：CUA
即：CUA={x|x∈U且x∈A}
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的
关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5. 集合基本运算的一些结论：
A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A
A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A
(CUA)∪A=U，(CUA)∩A=?
若A∩B=A，则A?B，反之也成立
若A∪B=B，则A?B，反之也成立
若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B
若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B
6. 课堂练习
(1)设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=?
(2)设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z
(3)集合A?{n|nm?1?Z}，B?{m|?Z}，则A?B?__________22
5(4)集合A?{x|?4?x?2}，B?{x|?1?x?3}，C?{x|x?0，或x? 2
那么A?B?C?_______________,A?B?C?_____________;
八、 作业布置：(1) 已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且
X?A??,X?B?X，试求p、q;
(2) 集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A?B={-2，0，1}，求p、q;
(3) A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A?B ={3，7}，求B
课题：§1.2.1函数的概念
教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之
间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化
的思想.
教学目的：(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中
的作用;
(2)了解构成函数的要素;
(3)会求一些简单函数的定义域和值域;
(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域;
教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数;教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示;
教学过程：
九、 引入课题
1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想;
2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题;
(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题;
(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;
4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.
十、 新课教学
(一)函数的有关概念
1.函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function).
记作： y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range).
注意：
1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”○;
2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x. ○
2. 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3.区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示.4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
(由学生完成，师生共同分析讲评)
(二)典型例题
1.求函数定义域
说明：
1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定。 ○
2 如果只给出解析式y=f(x)，○而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. ○
2.判断两个函数是否为同一函数
说明：
1 构成函数三个要素是定义域、○对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)
2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，○而与表示自变量和函数值的字母无关。
判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由?
(1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1
(2)f ( x ) = x; g ( x ) = x2
(3)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2
(4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) =
(三)课堂练习
求下列函数的定义域
(1)f(x)?x2 1 x?|x|
(2)f(x)?1
11?x
(3)f(x)??x2?4x?5(4)f(x)?
(5)f(x)?4?x2 x?1x2?6x?10
(6)f(x)??x?x?3?1
十一、 归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
课题：§1.2.2映射
教学目的：(1)了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念;
(2)结合简单的对应图示，了解一一映射的概念.
教学重点：映射的概念.
教学难点：映射的概念.
教学过程：
十二、 引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1. 对于任何一个实数a，数轴上都有的点P和它对应;
2. 对于坐标平面内任何一个点A，都有的有序实数对(x,y)和它对应;
3. 对于任意一个三角形，都有确定的面积和它对应;
4. 某影院的某场电影的每一张电影票有确定的座位与它对应;
5. 函数的概念.
十三、 新课教学
1. 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”
弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射(mapping)
2. 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系
(1)开平方;
(2)求正弦
(3)求平方;
(4)乘以2;3. 什么叫做映射?
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射(mapping).
记作“f：A?B”
说明：
(1)这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述.
(2)“都有”什么意思?
包含两层意思：一是必有一个;二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
4. 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?
(1)A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={(x，y)| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应;
(3)A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.
思考：
将(3)中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B?A是从集合B到集合A的映射吗?课题：§1.2.2函数的表示法
教学目的：(1)明确函数的三种表示方法;
(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用;
(4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”?分段函数的表示
及其图象.
教学过程：
十四、 引入课题
5. 复习：函数的概念;
6. 常用的函数表示法及各自的优点：
(1)解析法;
(2)图象法;
(3)列表法.
十五、 新课教学
(一)典型例题
例1.某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x) .
分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表.
解：(略)
注意：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个○
图形是否是函数图象的依据;
2 解析法：必须注明函数的定义域; ○
3 图象法：是否连线; ○
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. ○
巩固练习：
例1.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：王 伟 张 城 赵 磊 班平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65 78.3
第三次 91 88 73 85.4
第四次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具? 解：(略) 注意：
1 本例为了研究学生的学习情况，○将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化
特点;
2 本例能否用解析法?为什么? ○
例3.画出函数y = | x | . 解：(略) 拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者(图象)之间的关系.
例4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1) 乘坐汽车5公里以内，票价2元;
(2) 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值.
解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站)，那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N_| x≤19}.
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：?20?x?5?35?x?10?_ (x?N) y??
?410?x?15
??515?x?19
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
注意：
1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义; ○
2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表? ○
实践与拓展：
请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价.(可以实地考查一下某公交车线路)
说明：象上面两例中的函数，称为分段函数.
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.
十六、 归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法.
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