余角、补角、对顶角：教案
学习目标
1.在具体情境中了解对顶角，知道对顶角相等;
2.经历观察、操作、说理、交流的过程，进一步发展空间观念，学习有条理的表达数学问题;
3.会运用互为余角、互为补角、对顶角的性质来解决问题.
一、知识梳理
1、余角概念：
如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，简称互余.
2、补角概念：
如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补.
3、注意点：
互为余角、互为补角仅仅表明了两个角的数量关系，并没有限制角的位置关系.
4、邻补角概念：
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.
5、同一个角的补角与余角的关系：
同一个角的补角比它的余角大 90°.
6、余角补角的性质：
同角的余角相等，同角的补角相等.
等角的余角相等，等角的补角相等.
7、对顶角概念：
一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角.(对顶角由两条相交直线产生)
8、对顶角相等.
9、数对顶角的对数：
二、典型例题
例1：判断正误：
(1)一个角一定小于它的余角，也小于它的补角.
(2)如果两个角互补，那么这两个角是锐角和钝角.
(3)如果三个角的和为180°，则这三个角互补.
(4)如果两个角相等，那么她们的补角也相等.
(5)若∠1=∠2，则∠1和∠2是对顶角.
(6)互补的角就是平角.
(7)互余的两个角一定都是锐角.
(8)不相等的两个角不是对顶角.
解析：
(1)错误，如60°大于它的余角30°，100°大于它的补角80°.
(2)错误，两个角可以都为直角.
(3)错误，互补是两个角之间的数量关系.
(4)正确.
(5)错误，比如一个角的角平分线，把这个角分成2个相等的小角不是对顶角.
(6)错误，两个互补的角的度数之和是平角的度数.
(7)正确.
(8)正确.
例2
解析：
例3：
一个角的余角比它的补角的一半还少20°，这个角的度数为______°.
分析：
这种题目难度不大，可以直接解设这个角的度数为x，表示出这个角的余角和补角，根据题目，列出方程.
当然本题还有一种做法，即设这个角的补角度数为x，表示出这个角的余角，同时，还要利用一个隐含的数量关系，同一个角的补角比它的余角大 90°.
解答：
三、思维提升
1、找余角补角
例1：
如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些?与∠DOE互补的角有哪些?
分析：
找互余的角，首先要找直角内部的射线将直角分成的2个角，或者可以形象的称为“邻余角”.
其次，再找有没有其他角和“邻余角”中的一个相等，则和另一个也互余.
找互补的角，首先找找有没有邻补角.再找有没有其他角和邻补角中的一个相等.
这里∠DOE相邻的余角有2个，∠EOF，∠DOB，再找找有没有和这两个角相等的角.
∠DOE在图中没有邻补角，因此，只能找和它相等的角，不难发现是∠AOF，找∠AOF的邻补角，再找和∠AOF的邻补角相等的角.
解答：
∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠BOE=90°
∠3+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∵OB平分∠COD，
∴∠4=∠5，∠2=∠5，
∴∠DOE互余的是∠2、∠4、∠5;
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1
∵∠1+∠BOF=180°，
∠BOF=∠2+∠3+∠4=∠5+∠3+∠4=∠EOC，
∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC.
1、找余角补角
例2：
如下图，AOE是一条直线，从点O引射线OB，OC，OD，若∠AOC=∠COE=∠BOD=90°，那么图中互余的角有哪几对?互补的角有哪几对?
分析：
思路与例1一致，先找位置相邻的余角，找邻补角，然后找有没有其他角与其中一个相等的角，对于两个直角，也别忘了它们互补.
解答：
∵∠AOC=∠COE=∠BOD=90°
∴∠1+∠2=90°
∠2+∠3=90°，
∠3+∠4=90°，
∠1+∠4=90°，
互余的角有4对，
∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠1与∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠1+∠DOE=180°，∴∠3+∠DOE=180°，
∠4+∠AOB=180°，∴∠2+∠AOB=180°，
∠AOC+∠COE=180°，
∠AOC+∠DOB=180°，
∠DOB+∠COE=180°，
互补的角有7对，
∠1与∠DOE，∠3与∠DOE，
∠4与∠AOB，∠2与∠AOB，
∠AOC与∠COE，
∠AOC与∠DOB，
∠DOB与∠COE.
1、找余角补角
例3：
如图，直线 AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
(1)写出∠DOE的补角;
(2)要若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数;
(3)求∠DOF的度数?
分析：
(1)要找∠DOE的补角，可以找它的邻补角，也可以找与∠DOE相等的角，再找出它的补角.
(2)要求∠AOD，不一定非要用角度之和，可以用180°减去∠BOD，要求∠EOF，可以求∠AOE，再求其一半.
(3)双角平分线问题，找到出现两次的边OE，则∠DOF看作∠FOE+∠DOE，利用一半加一半可求.
解答：
2、用方程思想
例1：
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.∠BOF=30°，则∠AOC=______°.
分析：
要求∠AOC，其实就是求∠BOD.要求∠BOD，根据角平分线条件，可设∠EOD为x.，然后表示出∠EOF，进而表示出∠COE，则∠COE+∠EOD=180°，作为方程的相等关系.
解答：
∵OE平分∠BOD，∴∠BOD=2∠BOE，
∵OF平分∠COE，∴∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x°，则∠BOD=2x°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=2x°，∠EOF=∠COF=(x+30)°，
则∠COF+∠EOF+∠DOE=2(x+30)+30=180，
解得：x=40，
故∠AOC=80°.
2、用方程思想
例2：
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOD=∠BOD，且∠DOF与∠BOF的度数之比为3：1，求∠COE的度数.
分析：
要求∠COE，其实就是求∠FOD.而∠DOF与∠BOD的度数比已知，则可以设x，利用它们的差是∠BOD求解，而∠AOD=∠BOD，它们又是邻补角，则∠BOD的度数很快可知.
解答：
解设∠BOF=x°，∠DOF=3x°
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=2x°
∵∠AOD=∠BOD，∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=90°，
2x=90，x=45
∠DOF=135°.
《余角、补角、对顶角》同步测试
1. 如果一个角是36°，那么( )
A.它的余角是64° B.它的补角是64°
C.它的余角是144° D.它的补角是144°
2.现有下列说法：①锐角的余角是锐角;②钝角没有余角;③直角的补角是直角;④两个锐角互余.其中正确说法的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
《余角、补角、对顶角》测试
1.一个角是36°，则它的余角是_______，它的补角是_______.
2.∠A=50°17'，则它的余角等于_______;∠B的补角是102°38'1'，则∠B=_______.
3.已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为_______度.
4.一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是_______.
5.如图，点O在直线PQ上，OA是∠QOB的平分线，OC是∠POB的平分线，那么下列说法错误的是 ( )
A.∠AOB与∠POC互余
B.∠POC与∠QOA互余
C.∠POC与∠QOB互补
D.∠AOP与∠AOB互补
6.若互余的两个角有一条公共边，则这两个角的角平分线所组成的角 ( )
A.等于45°
B.小于45°
C.小于或等于45°
D.大于或等于45°
7.判断：
(1) 90°的角叫余角，180°的角叫补角. ( )
(2)如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2与∠3互补. ( )
(3)如果两个角相等，则它们的补角相等.( )
(4)如果∠α>∠β，那么∠α的补角比∠β的补角大. ( )
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